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Lösung zu Aufgabe 10: »Kugeln auf der Balkenwaage II«


 
Genauso kompliziert wie diese Aufgabe ist leider auch der zugehörige Lösungstext. Ich hoffe, du findest dich einigermaßen zurecht.
 
Der Übersicht wegen werden die 12 Kugeln durchnummeriert - mit den Zahlen 1 bis 12. Für die erste Wägung kommen die Kugeln 1, 2, 3 und 4 in die linke Waagschale, die Kugeln 5, 6, 7 und 8 in die rechte. Die Kugeln 9, 10, 11 und 12 bleiben zunächst außen vor.
 
Die erste Möglichkeit: Die Waage bleibt im Gleichgewicht. Das heißt, dass die gesuchte Kugel unter den Kugeln 9, 10, 11 und 12 zu finden ist. Es werden nun die Kugeln 1, 2 und 3 (die alle normal sind) gegen die Kugeln 9, 10 und 11 aufgewogen.
Herrscht hier Gleichgewicht, so ist Kugel Nr. 12 die gesuchte Kugel. Indem man sie in der dritten Wägung gegen Kugel 1 aufwiegt, erkennt man außerdem, ob sie leichter oder schwerer als die anderen Kugeln ist.

Sind die Kugeln 9, 10 und 11 leichter als die Kugeln 1, 2 und 3, so ist die gesuchte Kugel leichter und außerdem unter den Kugeln 9, 10 und 11 zu finden. Nach bekannter Methode wiegt man nun Kugeln 9 und 10 gegeneinander auf. Bei Gleichgewicht ist Kugel Nr. 11 die leichtere, herrscht kein Gleichgewicht, so ist die Kugel in der leichteren Waagschale auch tatsächlich die insgesamt leichtere Kugel.
Analog geht man vor, wenn die Kugeln 9, 10 und 11 schwerer als die Kugeln 1, 2 und drei sind.
 
Die zweite Möglichkeit der ersten Wägung: Es herrscht kein Gleichgewicht, die Waagschalen nehmen verschiedene Höhen an. Also sind die Kugeln 9, 10, 11 und 12 normal. Der Einfachkeit halber nehmen wir an, dass die Waagschale mit den Kugeln 1, 2, 3 und 4 die schwerere war (bei Bedarf kann man ja einfach nochmals durchnumerieren). Die beiden Waagschalen werden nun folgendermaßen bestückt: Erste Schale: Kugeln 1, 2, 3, 5 und 6. Zweite Schale: Kugeln 4, 9, 10, 11 und 12.
Wenn hier Gleichgewicht herrscht, ergibt sich folgende Konstellation: Entweder Kugel Nr. 7 oder Kugel Nr. 8 tanzt aus der Reihe - und aufgrund der ersten Wägung ergibt sich, dass die gesuchte Kugel leichter ist. Man muss deshalb nur die Kugeln 7 und 8 gegeneinander aufwiegen - die Waagschale, die leichter ist, enthält die gesuchte Kugel, die leichter ist als die anderen.
Wenn die erste Schale (Kugeln 1, 2, 3, 5 und 6) schwerer ist, ist folgendes der Fall: Da Kugel Nr. 4 dieses Ereignis nicht verantwortet haben kann (da sie aufgrund der ersten Wägung nicht leichter als die übrigen Kugeln sein kann) und auch die Kugeln 5 und 6 nicht als Urheber in Frage kommen (da sie aufgrund der ersten Wägung nicht schwerer als die anderen Kugeln sein können) und die Kugeln 9, 10, 11 und 12 ohnehin nicht in Frage kommen, ist die gesuchte Kugel - die schwerer ist als die anderen Kugeln - unter den Kugeln 1, 2 und 3 zu finden. Man wendet hier die schon bekannte Methode an: Kugeln 1 und 2 werden gegeneinander aufgewogen. Bei Ungleichheit enthält die schwerere Waagschale auch die insgesamt schwerere Kugel, bei Gleichgewicht ist Kugel Nr. 3 die gesuchte Kugel.
 
Die dritte Möglichkeit der zweiten Wägung: Die rechte Waagschale (mit den Kugeln 4, 9, 10, 11 und 12) ist schwerer. Da die Kugeln 9, 10, 11 und 12 ohnehin normal sind und die Kugeln 1, 2 und 3 nicht insgesamt leichter sein können (wie die erste Wägung ergeben hat), ist entweder Kugel Nr. 4 schwerer oder aber die Kugeln 5 oder 6 sind leichter. Man wiegt nun die Kugeln 5 und 6 gegeneinander auf. Bei Ungleichheit ist die Kugel in der leichteren Waagschale die insgesamt leichtere Kugel. Bei Gleichgewicht ist Kugel Nr. 4 die gesuchte Kugel, wobei sie schwerer als die anderen Kugeln ist.

 

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